Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunan dipanggil fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri pada mulanya timbul dalam sains pelayaran, sains pengukuran dan sains lainnya yang bergantung pada hubingan diantara sudut dan sisi segitiga. Akan tetapi pada harii ini kebanyakan penggunaan fungsi ini adalah pengajian fenomena gelombang seperti bunyi, haba, cahaya,keelekktrikan, fizik nuklier dan biologi . fungsi ini juga digunakan apabila menguji fenomena berkala yaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali.
Perbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri
Perbandingan Trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku
Teorema phytagoras
Misalkan a, b, c adalah sisi pada segitiga siku-siku dan c adalah sisi miringnya (heputenusanya). Maka menurut phytagoras berlaku hubungan :
c
a
b
perbandingan trigonometri
Relasi trigonometri antara sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segi tiga siku-siku adalah sebagai berikut :
h
d
s
Perhatikan gambar berikut :
y
B B (x,y)
X
kemudian relasi trigonometri di definisikan sebagai berikut :
Sinus (sin) α˚ = (sisi depan)/(sisi miring (hipotinosa)) =AB/OB =y/r
Cosinus (Cos) α˚ = (sisi samping)/(sisi miring (hipotinosa)) =OA/OB = x/r
Tangent (tan) α˚ = (sisi depan)/(sisi samping) = AB/OA =Y/(X )=sinθ/(cos θ)
Secan (sec) α˚ = (sisi miring ( hipotenosa))/(sisi samping)= OB/OA= 1/cosθ
Cotangent (cot) α˚ = (sisi samping )/(sisi depan)= OA/AB= 1/tanθ
Cosecan (cosec) α˚ = (sisi miring (hipotenosa))/(sisi depan)= OB/AB= 1/sinθ
Dari relasi trigonometri tersebut diatas terlihat bahwa cosec, sec dan cotg berturut-turut adalah kebalikan dari sin, cos dan tan.
Perbandingan Trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran
Perhatikan bahwa garis OA adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam bidang kartesius. Akibatnya XOA dapat bernilai antara 0˚ sampai 360˚. Misal XOA = α maka besar sudut α ini diukur dari sumbu x+. sudut α bernilai positif jika arah putar garis OA berlawanan arah jarum jam ( counter clockwise) . sudut α bernilai negative jika arah putar garis OA searah jarum jam.
Sudut α dapat terletak pada kuadran I, kuadarn II, kuadran III maupun kuadran IV.
1). α1 di kuadran I
Pada kudran I dibatasi oleh “ dinding-dinding” sumbu x positif dan sumbbu y positif juga sehingga titikyang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat dituliskan sebagai P( +x, +y ) atau (x, y).
Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kua dran I ini dapat dirumuskan sebagai berikut:
sin〖α_1 〗=depan/hipotenusa = y/r
Cos α_1= samping/hipotenusa= x/r
Tg α_1= depan/samping=y/x
Cosec α_1= heputenusa/depan= r/y
Sec α_(1 )= heputenusa/samping= r/x
Cotg α_(1 )= samping/depan= x/y
2). α2 di kuadran II
Pada kuadran II dibatasi oleh” dinding-dinding” sumbu x negative dan sumbu y positif sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat di tuliskan sebagai p(-x,+y) atau p(-x, y) saja.
Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran II ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
Sin α2 = depan/hipotenusa= y/r
Cos α2 = samping/heputenusa= (-x)/r
Tg α2 = depan/samping= y/(-x)
Cosec α2 = heputenusa/depan= r/y
Sec α2 = heputenusa/samping= r/(-x)
Cotg α2 = samping/depan= (-x)/y
3). α3 di kuadran III
Pada kuadran III di batasi oleh “dinding-dinding” sumbu x negatife dan sumbu y negatife juga, sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat dituliskan sebagai P(-x, -y) atau P(x, y) saja.
Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran III ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
Sin α3 = depan/hipotenusa= (-y)/r
Cos α3 = samping/hipotenusa= (-x)/r
Tg α3 = (depan )/samping= (-y)/(-x)= y/(-x)
Cosec α3 = hipotenusa/depan= r/(-y)
Sec α3 = hipotenusa/samping= r/(-x)
Cotg α3 = samping/depan= (-x)/(-y)
4). Di kuadran IV
Pada kudran IV dibatasi oleh “dinding-dinding” sumbu x positif dan sumbu y negatif, sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat di tulis sebagai P(-x, -y) atau P(x,y) saja.
Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran IV ini dapat dirumuskan sebagai berikut :
Sin α4 = depan/hipotenusa= (-y)/r
Cos α4 = samping/hipotenus= x/r
Tg α4 = depan/samping= (-y)/x
Cosec α4 = hipotenusa/depan= r/(-y)
Sec α4 = hipotenusa/samping=r/y
Cotg α4 = samping/depan= x/(-y)
Tanda-tanda perbandingan trigonometri
Perbandingan trigonometri
Sudut-sudut di kuadran
I II III IV
sin + + - -
cos + - - +
tan + - + -
cot + - + -
sec + - - +
cosec + + - -
90˚
0˚
180˚ 360˚
270˚
Sudut-sudut istemewa
Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istemewa. Kelima sudut itu adalah sudut yang besarnya 0˚, 30˚, 45˚, 60˚ dan 90˚. Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istemewa ini disajikan dalam table berikut:
sudut 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 180˚ 270˚ 360˚
radian 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π
Sinus 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 0 -1 0
cosinus 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1 0 1
tangen 0 1/3 √3 1 √3 ∞ 0 ∞ 0
Cotangen ∞ √3 1 1/3 √3 0 ∞ 0 ∞
secan 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -1 ∞ 1
cosecan ∞ 2 √2 2/3 √3 1 ∞ 1 ∞
1 √2
1
B. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut berelasi
Setelah kita mengkaji nilai perbandingan trigonometri pada sudut lancip (kuadran I) dan sudut tumpul ( kuadran II, III dan IV). Sekarang, kita akan menyatakan hubungan (relasi) nilai perbandingan trigonometri komplemen sudut lancip dan sudut tumpul ke dalam nilai perbandingan trigonometri sudut tumpul.
Rumus – rumus sudut berelasi dalam trigonometri
Kuadran I
Kuadran II
Kuadran III
Kuadran IV
Sudut yang lebih dari 360˚
Fungsi Trigonometri dan Grafiknya
Fungsi trigonometri
PERBANDINGAN trigonometrui dari setiap sudut terdapat tepat satu nilai dari sinus, cosinus dan tangen dari sudut tersebut, sehingga perbandingn trigonometri merupakan suatu pemetaan antae fungsi.
Misalkan f : x →sinx (dibaca: “f merelasikan x ke sin x) atai dapat ditulis f(x) = sin x. secara riil bentuk f(x) = sin x bias kita artikan sebagai upaya merelasikan besar sudut tertentu ke dalam nilai perbandingan trigonometri sinusnya. Oleh karena setiap besarnya sudut yang kita ambil ternyata hanya memiliki sebuah bayangan maka bentuk f(x) = sin x merupakan pemetaan atau fungsi. Perhatikan ilustrasi berikut:
Demikian f : x→cosx (dibaca: “ f merelasikan x ke cos x) atau dapat ditulis f(x) = cos x ser
ta f : x→tanx (dibaca : “ f merelasikan x ke tan x) atau dapat ditulis f(x) = tan x.
Contoh soal.
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = sin x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = sin x˚ 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1/2 -1/2 √2 -1/2 √3
270 300 315 330 360
-1 -1/2 √3 -1/2 √2 1/2 0
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = cos x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = cos x˚ 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1/2 -1/2 √2 -1/2 √3 -1 -1/2 √3 -1/2 √2 -1/2
270 300 315 330 360
0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = tan x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = tan x˚ 0 1/3 √3 1 √3 ∞ -√3 -1 -1/3 √3 0 1/3 √3 1 √3
270 300 315 330 360
∞ -√3 -1 -1/3 √3 0
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = cot x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = cot x˚ ∞ √3 1 1/3 √3 0 -1/3 √3 -1 -√3 ∞ √3 1 1/3 √3
270 300 315 330 360
0 -1/3 √3 -1 -√3 ∞
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = sec x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = sec x˚ 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -2 -√2 -2/3 √3 -1 -2/3 √3 √1 -2
270 300 315 330 360
∞ 2 √2 -2/3 √3 1
Grafik fungsi trigonometri
Grafik fungsi y = cosec x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360)
X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240
Y = cosec x˚ ∞ 2 √2 2/3 √3 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -2 -√2 -2/3 √3
270 300 315 330 360
-1 -2/3 √3 -√2 -2 ∞
Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Cosinus
Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, cosinus dan tangent) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan, yaitu lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan.
Berdasarkan gambar di atas di peroleh :
Sin αº = y/r = y/1 = y, nilai sin αº ditentukan oleh ordinat y.
Cos αº = x/r = x/1 = x, nilai cos αº ditentukan oleh absis x.
Tan αº = y/x, nilai tan αº ditentukan oleh absis x dan ordinat y.
Jika titik P berputar (dimulai dari titik A) berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka besar sudut αº = sudut XOP bertambah secara kontinu dari 0º sampai 360º. Dengan pertambahan besar sudut αº, maka nilai-nilai fungsi trigonometri sin αº, cos αº, dan tan αº akan mengalami perubahan.
aturan sinus dan cosinus
Aturan sinus
Dalam ssegitiga ABC, sisi-sisinya sebanding dengan sinus sudut seberangnya.
Bukti
C C
b a b
a t
A B A c B D
c
dari titik C ditarik garis tinggi t.
perhatikan segitiga siku-siku CAD gambar (a)diperoleh relasi
sin A = t/b atau t= b sin A ……………………i)
perhatikakan segitiga siku-siku CBD diperoleh relasi
sin B = t/a atau t= a sin B ………………….ii)
subtitusikan i) dan ii) diperoleh
a/(sinA )= b/sinB
Dengan jalan yang sama dibuktikan
b/sinB = c/sinC
Dari aturan sinus itu dapat pula di turunkan relasi-relasi:
Aturan cosinus
Dalam segitiga ABC, kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya dikurangi dua perkalian dua sisi itu dengan cosinus sudut apitnya.
Bukti
C C
b a b
a t
A B A c B D
c
kita tarik garis tinggi CD . missal panjang CD = t.
perhatikan segitiga siku-siku BCD diperoleh
t = a sin B ………………..i)
DB = a cos b …………………..ii)
Disisi lain
AD = AB – BD
AD = c – BD ……………………………iii)
Subtitusikan ii) ke iii) diperoleh
AD = c – a cos B ………………………iv)
Perhatikan segitiga siku ACD diperoleh
b2 = t2 + AD2 ……………………….v)
subtitukan i) , iv), dan v) diperoleh
b2 = t2 + AD2
b2 = (a sin B)2 + (c- a cos B)2
b2 = a2 sin2 B + c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B
b2 = a2 sin2 B + a2 cos2 B + c2 – 2ac cos B
b2 = a2 ( sin 2 B + cos2 B ) + c2 – 2ac cos B
( dimana sin 2 B + cos2 B = 1)
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
dari aturan cosinus di atas dapat di kembangkan menjadi
Tips menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus
Banyak siswa yang kebingungan ketika berhadapan dengan soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus.
Ada tips dari saya. Tips ini saya dapatkan berdasarkan pengalaman saya mengerjakan soal-soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus.
Tipsnya: waktu baca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui.
1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus.
2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya:
2.1 Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus.
2.2 Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus.
3. Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus.
Contoh 1:
Pada segitiga ABC dengan sudut B = 105 derajat, sudut C = 45 derajat, dan panjang AB = 10V2.
Tentukan panjang BC?
Jawab:
Banyak sudut yang diketahui ada 2 yaitu sudut B dan sudut C. Gunakan aturan sinus!
BC : sin A = AB : sin C
BC = (AB : sin C) x sin A
BC = (10V2 : sin 45 derajat) x sin (180 – 105 – 45) derajat
BC = (10V2 : 1/2 V2) x sin 30 derajat
BC = (20) (1/2)
BC = 10
contoh 2:
Pada segitiga PQR diketahui panjang sisi RQ = 4, PQ = 8 dan besar sudut P = 30 derajat. Tentukan nilai sin R!
Jawab:
Banyak sudut yang diketahui ada 1 yaitu sudut P = 30 derajat.
Karena diketahui hanya satu sudut maka lihat pertanyaannya.Yang dintanyakan adalah sin R (sudut R). Gunakan aturan sinus!
sin R : PQ = sin P : RQ
sin R = (sin P : RQ) x PQ
sin R = (sin 30 derajat : 4) x 8
sin R = (1/2 : 4) x 8
sin R = 2 x 8
sin R = 16
Luas segitiga
Luas segitiga ABC sama dbgan setengah perkalian dua sisi dengan sinus sudut apitnya.
Bukti :
Dalam segitiga siku-siku ABD, diperoleh sin A = t/c C
t = c sin A ………………….i)
luas segitiga ABC adalah : c a
L ∆ ABC= 1/2 bt ……………………ii)
Subtitusikan i) ke ii) diperoleh luas segitiga sebagai berikut : A B
L ∆ ABC= 1/2 bc sin A b
Dengan cara yang sama dibuktikan
L ∆ ABC= 1/2 ac sin A
L ∆ ABC= 1/2 ab sin A
Bukti :
Luas ∆ ABC dapat dinyatakan :
L ∆ ABC = 1/2 bc sin A
L ∆ ABC = 1/2 bc √(1-〖cos〗^(2 ) A)
L ∆ ABC = 1/2 bc√((1-cos〖A)(1+cos〖A)〗 〗 )
L ∆ ABC = 1/2 bc√((1-a^(2+c^2- b^2 )/2bc)(1+(a^2+b^2-c^2)/2bc))
L ∆ ABC = 1/2 bc√(((2bc-(b^2 〖+c〗^2 〖-a〗^2 ))/2bc)((〖2bc+(b〗^2+c^2-a^2)/2bc))
L ∆ ABC = 1/2 bc√(((2bc-b^2 〖-c〗^2 〖+a〗^2)/2bc)((〖2bc+b〗^2+c^2-a^2)/2bc))
L ∆ ABC = 1/2 bc√((a^2-(b^2-2bc+c^(2))((b^2+2bc〖+c〗^2 ) 〖-a〗^2)))/((〖2bc)〗^2 ))
L ∆ ABC = 1/2 bc/2bc √(a^2-(b^2-2bc+c^2 )((b^2++2bc+c^2)〖-a〗^2 ))
L ∆ ABC = 1/4 √(〖(a〗^2-(〖b-c)〗^2 ((〖b+c)〗^2-a^2 )
L ∆ ABC = 1/4 √((a-(b-c) )(a+(b-c) )((b+c)-a)((b+c)+a))
L ∆ ABC = 1/4 √((a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a))
L ∆ ABC = 1/4 √((a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c-2a(a+b+c))
L ∆ ABC = 1/4 √((2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)(2s) )
L ∆ ABC = 1/4 √(2(s-a)2(s-b)2(s-c)2(s))
L ∆ ABC = 1/4 √(16(s-a)(s-b)(s-c)(s))
L ∆ ABC = 1/4.4 √((s-a)(s-b)(s-c)(s))
L ∆ ABC = √((s-a)(s-b)(s-c)(s)) (terbukti)
Koordinat kutub
Pengertian
Letak suatu titik pada bidang dapat ditulis dalam bentuk p( x, y), dimana x sebagai absis dan y sebagai ordinat, penulisan P(x,y) disebut koordinat kartesius.
Koordinat kutub atau polar ditulis P( r, a)˚.
Y P(x,y)
y r P(r,a˚)
a˚
o x X o
koordinat kartecius titik p koordinat kutub titik p
Hubungan Antara Koordinat Titik Kutub dan Koordinat Kartesius
Koordinat kartesius
P (x,y)
Koordinat kutub
P(x,y)
X= r cos a˚
Y= r sin a˚
r= √(x^2+y^2 )
tan a˚ = y/x
Contoh soal :
Tentukan koordinat kutub dari titik C (-3√(2,) 3√2
Jawab:
Misalkan koordinat kutub titik C (r, a˚)
r2 = x2 + y2 tan a˚ = y/x = (3√2)/(-3√2) = -1
r = √(x^2+y^2 ) a˚ = 135˚
= √(〖(-3√2)〗^2+〖(3√2)〗^2 )
=√(18+18) = √36 = 6
Jadi, koordinat kutub titik C (-3√2,3√(2 )) adalh ( 6, 135˚)
Tentukanlah koordinat kartesius titikB ( 10, 120˚)
Jawab :
Misalkan koordinat kartesius titik B (x,y).
X= r cos a˚ = 10 cos 120˚ = 10 .(-cos 60˚) = 10. (-1/2) = -5
Y= r sin a˚ = 10 sin 120˚ = 10. (sin 60˚) = 10. 1/2 √3 = 5 √3
Jadi, koordinat kartesius titik B ( 10, 150˚) adalah ( -5, 5√3)
Hubungan perbandingan trigonometri suatu sudut
Y P(x,y)
y
a˚
o x Q X
perhatikan segitiga POQ siku-siku di titik Q dan koordinat P (x,y), bila OP- r, OQ =y dan POQ= a˚.
menurut teorema phytagoras, dari gambar di samping diperoleh rumus sebagai berikut.
(x^2+y^2=r^2)/ ∶r^2 (x^2+y^2=r^2)/ ∶x^2 (x^2+y^2=r^2)/ ∶y^2
Dari koordinat kutub dan kartesius diperoleh sebagai berikut .
Sin a˚ = y/r
Cosec a ˚ = r/y
Sin a ˚ ×cosec a˚= y/r×r/y=1
Cos a˚ = x/r tan a˚ = y/x
Sec a ˚ = r/x cot a˚ = x/y
Cos a sec a = x/r×r/x=1 tan a cot a = y/x×x/y=1
Dengan cara yang sama di dapat rumus sebagai berikut.
Sin a ˚ ×cosec a˚=1 atau sin a = 1/(cosec a)
Cos a sec a = 1 atau cos a= 1/seca
tan a cot a = 1 atau tan a = 1/cota
contoh soal
buktikan bahwa sin A cos A ( tan A + cot A) = 1
jawab :
penyelesaian ruas kiri .
sin A cos A ( tan A + cot A ) = sin A cos A tan A + sin A cos A cot A
= sin A cos A + sin A cos A
= sin A sin A + cos A cos A
= sin2 A + cos2 A = 1
Terbukti ruas kiri = ruas kanan
Pengukuran sudut dengan satuan derajat dan radian
B
R
A
Pada gambar di atas , memperlihatkan lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat pada titik O, titik A dan B pada lingkaran . panjang busur AB adalah r, sehingga OA=OB= busur AB = r maka diperoleh persamaan sebagai berikut.
(panjang busur AB)/OA= r/r=1 dikatakan bah besar sudut AOB = 1 radian.
Satu radian adalah besar sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran.
Pada gambar di atas , panjang jari-jari lingkaran dan panjang AB adalah n satuan . dengan demikian, besar sudut AOB adalah 1 radian.
2π radian=360˚ 1 radian = (180˚)/π
I radian = (360˚)/2π 1 radian = 57,296˚
Contoh soal :
Nyatakan nilai berikut ini kedalam radian
45˚
135˚
330˚
Nyatakan nilai berikut ini ke derajat.
1/2 π radian
1 5/6 π radian
13/5 π radian
Jawab :
a. 45˚ = 45/180 π radian= 1/4 π
135˚ = 135/180 π radian=3/4 π
330˚ = / π radian=15/6 π
A. 1/2 π radian= 1/2 × 180˚ = 90˚
b. 15/6 π radian= 11/6× 180˚ = 330˚
c. 13/5 π radian= 8/5× 180˚ = 288˚
Tentukan perbandingan trigonometri dari segitiga ABC berikut ini:
C
20
A B
16
Jawab :
BC2 = AC2 + AB2
AC2 = BC2- AB2
= 202 – 162
= 400 – 256
AC2 = 144
AC = 12
Sin α = 16/20= 4/5 4) cot α = 12/16= 3/4
Cos α = 12/20= 3/5 5) sec α = 20/12= 5/3
Tan α = 16/12= 4/3 6) cosec α = 20/16= 5/4
.Segiempat ABCD siku-siku di A dan C, ABC = α, CBD = β. Jika AD = p, maka BC = …
Penyelesaian :
Sin α = AD/BD ⟹ BD = AD/sinα = p/sinα
Cos β = BC/BD ⟹ BC = BD. Cos β
= p/sinα . cos β = p. cosβ/cosα
5. (〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan30^° . tan60^° ) = …
Penyelesaian :
〖sin〗^2 α+ 〖cos〗^2 α=1
sin45^°= cos45^(° );tan60^° 〖=tan〖(90〗〗^°- 〖30〗^°)=cot〖 30〗^°
(〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan30^° . tan60^° ) =
(〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan30^° . cot30^° ) =
(〖sin〗^2 〖45〗^° 〖 (sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖60〗^°))/(sin30^°/cos30^° . cos30^°/sin30^° ) =
(〖Sin〗^2 45.1)/1 = (1/2 √2 )2 = 1/2
6. jika α = 60˚, tentukan nilai dari operasi berikut:
a) 3 sinα cosα c) 2 cos3 α 5 cos α
b) 2 – 4 sin2 α d) 5 sin α – 3 sin2 α
3 sinα cosα = 3 sin 60˚ . cos 60˚
= 3. 1/2 √3.1/2
= 3/4 √3
2 – 4 sin2 α =2 – 4 sin2 60˚
= 2 – 4 (1/2 √3)2
= 2 – 4 . 1/4. 3
= 2 – 3 = -1
2 cos3 α 5 cos α = 2 cos3 60˚ . 5 cos 60˚
= 2(1/2)3 . 5. 1/2
= 2 (1/8) . 5/2 = 5/8
5 sin α – 3 sin2 α = 5 sin 60˚ - 3 sin2 60˚
= 5 1/2 √3- (1/2 √3)2
= 5/2 √3- 3 .1/4 .3= 5/2 √3- 9/4
memecahkan ketimpangan trigonometri
selama 2 sin x cos x - sin x + 2 cos x -1 <0 dan -180 <= x <= 180
jawab;
Pertama, kita akan pd oleh 2cos x 1 dan istilah 3:
2 cos x (sin x + 1) - (sin x + 1) <0
Kami akan pd dengan (sin x + 1):
(Sin x + 1) * (2cos x - 1) <0
Sebuah produk adalah faktor-faktor negatif jika memiliki tanda-tanda yang berlawanan.
Kita akan membahas 2 kasus:
1) sin x + 1 <0
dan
2cos x - 1> 0
sin x <-1
Ini tidak mungkin karena nilai fungsi sinus tidak bisa lebih kecil dari -1.
2cos x - 1> 0
2cos x> 1
cos x> 1 / 2
x> pi / 3 atau x> 2pi / 3
Kita akan membahas kasus 2:
2)
sin x + 1> 0 <=> sin x> -1 => x> pi
Hal ini tidak mungkin karena x adalah dalam rentang [0.180] dan tidak dapat lebih besar dari 180.
dan
2cos x - 1 <0 => x x = 3Pi / 2; cos x = 1 / 2 -> x = Pi / 3 dan x = 4Pi / 3
c. Mengatur Tabel Sign: Variasi dari u dan v dalam periode 2pi
x | 0 Pi / 3 Pi 3Pi / 2 4Pi / 3 2pi
u | + + + 0 + +
v | + 0 - - - 0 +
F | Tidak ada ya ya ya Tidak
Tanda dari F adalah tanda dari produk u * v
Himpunan solusi ketidaksamaan adalah interval (Pi / 3, 4Pi / 3)
Catatan 1: Untuk memecahkan ketimpangan trigonometri, mengubahnya menjadi sebuah produk dari ketidaksetaraan trigonometri dasar. Kemudian, mendirikan Tabel Masuk yang menunjukkan semua set solusi dari ketidaksetaraan dasar. Himpunan solusi gabungan dapat dengan mudah dilihat sebagai tanda produk
Catatan 2. Jangan mencoba untuk membahas tanda-tanda dari 2 Binomial karena akan menyebabkan kebingungan dan kesalahan.
Uji kompetensi:
Himpunan penyelesaian dari 6 cos x – 6 akar 3 sin x = 6
untuk - 360 < x < 360 ( Kurang dari sama dengan )
A. ( 120 , 240 , 360 )
B. ( 135 , 120 , 360 )
C. ( 135 , 270 , 360 )
D. (- 120, 240 , 360 )
E. (-240 , 120 , 360 )
. Pada segitiga ABC diketahui sudut C = 30 derajat dan
sin A . cos B = ¾ , nilai tan A / tan B = …
A. 3
B. 2
C. 0
D. -2
E. -3
Cos 150˚ + sin 45˚ + 1/2 cot (-330˚) = …
1/2 √3 d. -1/2 √2
-1/2 √3 e. √2
1/2 √2
Jika cos β = - 1/2 √3 dan sudut β terletak pada kuadran II, maka tan β = …
√3 d. - 1/3 √3
1/9 √3 e. -√3
1/2
Diketahui : sin α = a, α sudut tuimpul maka tan α =…
(-a)/√(a^2-1) d. (-a)/〖1-a〗^2
a/√(1-a^2 ) e. (-a)/√(1-a^2 )
(-a)/√(1+a^2 )
Jika tan(2x + 10˚) = cot ( 3x - 15˚), maka nilai x yang memenuhi diantaranya adalah…
13˚ d. 25˚
19˚ e. 26˚
21˚
Jika p-q = cos A dan √2pq = sin A, maka p2 + q2 = …
0 d. 1/4
1 e. -1
1/2
Tidak ada komentar:
Posting Komentar