Trigonometri

BAB I FUNGSI TRIGONOMETRI 

Dalam bab ini kita akan belajar secara ringkas satu kelas fungsi penting untuk penggunan dipanggil fungsi trigonometri. Fungsi trigonometri pada mulanya timbul dalam sains pelayaran, sains pengukuran dan sains lainnya yang bergantung pada hubingan diantara sudut dan sisi segitiga. Akan tetapi pada harii ini kebanyakan penggunaan fungsi ini adalah pengajian fenomena gelombang seperti bunyi, haba, cahaya,keelekktrikan, fizik nuklier dan biologi . fungsi ini juga digunakan apabila menguji fenomena berkala yaitu keadaan dimana corak asas berulang berkali-kali. Perbandingan Trigonometri dan Fungsi Trigonometri Perbandingan Trigonometri dari suatu sudut segitiga siku-siku Teorema phytagoras Misalkan a, b, c adalah sisi pada segitiga siku-siku dan c adalah sisi miringnya (heputenusanya). Maka menurut phytagoras berlaku hubungan : c a b perbandingan trigonometri Relasi trigonometri antara sisi-sisi dan sudut-sudut dalam segi tiga siku-siku adalah sebagai berikut : h d s Perhatikan gambar berikut : y B B (x,y) X kemudian relasi trigonometri di definisikan sebagai berikut : Sinus (sin) α˚ = (sisi depan)/(sisi miring (hipotinosa)) =AB/OB =y/r Cosinus (Cos) α˚ = (sisi samping)/(sisi miring (hipotinosa)) =OA/OB = x/r Tangent (tan) α˚ = (sisi depan)/(sisi samping) = AB/OA =Y/(X )=sin⁡θ/(cos θ) Secan (sec) α˚ = (sisi miring ( hipotenosa))/(sisi samping)= OB/OA= 1/cos⁡θ Cotangent (cot) α˚ = (sisi samping )/(sisi depan)= OA/AB= 1/tan⁡θ Cosecan (cosec) α˚ = (sisi miring (hipotenosa))/(sisi depan)= OB/AB= 1/sin⁡θ Dari relasi trigonometri tersebut diatas terlihat bahwa cosec, sec dan cotg berturut-turut adalah kebalikan dari sin, cos dan tan. Perbandingan Trigonometri suatu sudut di berbagai kuadran Perhatikan bahwa garis OA adalah garis yang dapat berputar terhadap titik asal O dalam bidang kartesius. Akibatnya XOA dapat bernilai antara 0˚ sampai 360˚. Misal XOA = α maka besar sudut α ini diukur dari sumbu x+. sudut α bernilai positif jika arah putar garis OA berlawanan arah jarum jam ( counter clockwise) . sudut α bernilai negative jika arah putar garis OA searah jarum jam. Sudut α dapat terletak pada kuadran I, kuadarn II, kuadran III maupun kuadran IV. 1). α1 di kuadran I Pada kudran I dibatasi oleh “ dinding-dinding” sumbu x positif dan sumbbu y positif juga sehingga titikyang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat dituliskan sebagai P( +x, +y ) atau (x, y). Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kua dran I ini dapat dirumuskan sebagai berikut: sin⁡〖α_1 〗=depan/hipotenusa = y/r Cos α_1= samping/hipotenusa= x/r Tg α_1= depan/samping=y/x Cosec α_1= heputenusa/depan= r/y Sec α_(1 )= heputenusa/samping= r/x Cotg α_(1 )= samping/depan= x/y 2). α2 di kuadran II Pada kuadran II dibatasi oleh” dinding-dinding” sumbu x negative dan sumbu y positif sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat di tuliskan sebagai p(-x,+y) atau p(-x, y) saja. Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran II ini dapat dirumuskan sebagai berikut : Sin α2 = depan/hipotenusa= y/r Cos α2 = samping/heputenusa= (-x)/r Tg α2 = depan/samping= y/(-x) Cosec α2 = heputenusa/depan= r/y Sec α2 = heputenusa/samping= r/(-x) Cotg α2 = samping/depan= (-x)/y 3). α3 di kuadran III Pada kuadran III di batasi oleh “dinding-dinding” sumbu x negatife dan sumbu y negatife juga, sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat dituliskan sebagai P(-x, -y) atau P(x, y) saja. Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran III ini dapat dirumuskan sebagai berikut : Sin α3 = depan/hipotenusa= (-y)/r Cos α3 = samping/hipotenusa= (-x)/r Tg α3 = (depan )/samping= (-y)/(-x)= y/(-x) Cosec α3 = hipotenusa/depan= r/(-y) Sec α3 = hipotenusa/samping= r/(-x) Cotg α3 = samping/depan= (-x)/(-y) 4). Di kuadran IV Pada kudran IV dibatasi oleh “dinding-dinding” sumbu x positif dan sumbu y negatif, sehingga titik yang ada di dalam kuadran ini secara umum dapat di tulis sebagai P(-x, -y) atau P(x,y) saja. Nilai perbandingan trigonometri yang ada di kuadran IV ini dapat dirumuskan sebagai berikut : Sin α4 = depan/hipotenusa= (-y)/r Cos α4 = samping/hipotenus= x/r Tg α4 = depan/samping= (-y)/x Cosec α4 = hipotenusa/depan= r/(-y) Sec α4 = hipotenusa/samping=r/y Cotg α4 = samping/depan= x/(-y) Tanda-tanda perbandingan trigonometri Perbandingan trigonometri Sudut-sudut di kuadran I II III IV sin + + - - cos + - - + tan + - + - cot + - + - sec + - - + cosec + + - - 90˚ 0˚ 180˚ 360˚ 270˚ Sudut-sudut istemewa Di dalam trigonometri ada 5 sudut yang dikategorikan sudut istemewa. Kelima sudut itu adalah sudut yang besarnya 0˚, 30˚, 45˚, 60˚ dan 90˚. Nilai trigonometri untuk sudut-sudut istemewa ini disajikan dalam table berikut: sudut 0˚ 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ 180˚ 270˚ 360˚ radian 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π Sinus 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 0 -1 0 cosinus 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1 0 1 tangen 0 1/3 √3 1 √3 ∞ 0 ∞ 0 Cotangen ∞ √3 1 1/3 √3 0 ∞ 0 ∞ secan 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -1 ∞ 1 cosecan ∞ 2 √2 2/3 √3 1 ∞ 1 ∞ 1 √2 1 B. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut berelasi Setelah kita mengkaji nilai perbandingan trigonometri pada sudut lancip (kuadran I) dan sudut tumpul ( kuadran II, III dan IV). Sekarang, kita akan menyatakan hubungan (relasi) nilai perbandingan trigonometri komplemen sudut lancip dan sudut tumpul ke dalam nilai perbandingan trigonometri sudut tumpul. Rumus – rumus sudut berelasi dalam trigonometri Kuadran I Kuadran II Kuadran III Kuadran IV Sudut yang lebih dari 360˚ Fungsi Trigonometri dan Grafiknya Fungsi trigonometri PERBANDINGAN trigonometrui dari setiap sudut terdapat tepat satu nilai dari sinus, cosinus dan tangen dari sudut tersebut, sehingga perbandingn trigonometri merupakan suatu pemetaan antae fungsi. Misalkan f : x →sin⁡x (dibaca: “f merelasikan x ke sin x) atai dapat ditulis f(x) = sin x. secara riil bentuk f(x) = sin x bias kita artikan sebagai upaya merelasikan besar sudut tertentu ke dalam nilai perbandingan trigonometri sinusnya. Oleh karena setiap besarnya sudut yang kita ambil ternyata hanya memiliki sebuah bayangan maka bentuk f(x) = sin x merupakan pemetaan atau fungsi. Perhatikan ilustrasi berikut: Demikian f : x→cos⁡x (dibaca: “ f merelasikan x ke cos x) atau dapat ditulis f(x) = cos x ser ta f : x→tan⁡x (dibaca : “ f merelasikan x ke tan x) atau dapat ditulis f(x) = tan x. Contoh soal. Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = sin x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = sin x˚ 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1/2 -1/2 √2 -1/2 √3 270 300 315 330 360 -1 -1/2 √3 -1/2 √2 1/2 0 Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = cos x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = cos x˚ 1 1/2 √3 1/2 √2 1/2 0 -1/2 -1/2 √2 -1/2 √3 -1 -1/2 √3 -1/2 √2 -1/2 270 300 315 330 360 0 1/2 1/2 √2 1/2 √3 1 Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = tan x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = tan x˚ 0 1/3 √3 1 √3 ∞ -√3 -1 -1/3 √3 0 1/3 √3 1 √3 270 300 315 330 360 ∞ -√3 -1 -1/3 √3 0 Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = cot x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = cot x˚ ∞ √3 1 1/3 √3 0 -1/3 √3 -1 -√3 ∞ √3 1 1/3 √3 270 300 315 330 360 0 -1/3 √3 -1 -√3 ∞ Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = sec x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = sec x˚ 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -2 -√2 -2/3 √3 -1 -2/3 √3 √1 -2 270 300 315 330 360 ∞ 2 √2 -2/3 √3 1 Grafik fungsi trigonometri Grafik fungsi y = cosec x˚ ( 0 ≤ x ≤ 360) X 0 30 45 60 90 120 135 150 180 210 225 240 Y = cosec x˚ ∞ 2 √2 2/3 √3 1 2/3 √3 √2 2 ∞ -2 -√2 -2/3 √3 270 300 315 330 360 -1 -2/3 √3 -√2 -2 ∞ Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Sinus dan Cosinus Perubahan nilai fungsi trigonometri (sinus, cosinus dan tangent) dapat diamati dengan menggunakan lingkaran satuan, yaitu lingkaran trigonometri yang berjari-jari satu satuan. Berdasarkan gambar di atas di peroleh : Sin αº = y/r = y/1 = y, nilai sin αº ditentukan oleh ordinat y. Cos αº = x/r = x/1 = x, nilai cos αº ditentukan oleh absis x. Tan αº = y/x, nilai tan αº ditentukan oleh absis x dan ordinat y. Jika titik P berputar (dimulai dari titik A) berlawanan arah jarum jam sepanjang lintasan lingkaran satuan, maka besar sudut αº = sudut XOP bertambah secara kontinu dari 0º sampai 360º. Dengan pertambahan besar sudut αº, maka nilai-nilai fungsi trigonometri sin αº, cos αº, dan tan αº akan mengalami perubahan. aturan sinus dan cosinus Aturan sinus Dalam ssegitiga ABC, sisi-sisinya sebanding dengan sinus sudut seberangnya. Bukti C C b a b a t A B A c B D c dari titik C ditarik garis tinggi t. perhatikan segitiga siku-siku CAD gambar (a)diperoleh relasi sin A = t/b atau t= b sin A ……………………i) perhatikakan segitiga siku-siku CBD diperoleh relasi sin B = t/a atau t= a sin B ………………….ii) subtitusikan i) dan ii) diperoleh a/(sinA )= b/sin⁡B Dengan jalan yang sama dibuktikan b/sin⁡B = c/sin⁡C Dari aturan sinus itu dapat pula di turunkan relasi-relasi: Aturan cosinus Dalam segitiga ABC, kuadrat salah satu sisi sama dengan jumlah kuadrat dua sisi lainnya dikurangi dua perkalian dua sisi itu dengan cosinus sudut apitnya. Bukti C C b a b a t A B A c B D c kita tarik garis tinggi CD . missal panjang CD = t. perhatikan segitiga siku-siku BCD diperoleh t = a sin B ………………..i) DB = a cos b …………………..ii) Disisi lain AD = AB – BD AD = c – BD ……………………………iii) Subtitusikan ii) ke iii) diperoleh AD = c – a cos B ………………………iv) Perhatikan segitiga siku ACD diperoleh b2 = t2 + AD2 ……………………….v) subtitukan i) , iv), dan v) diperoleh b2 = t2 + AD2 b2 = (a sin B)2 + (c- a cos B)2 b2 = a2 sin2 B + c2 – 2ac cos B + a2 cos2 B b2 = a2 sin2 B + a2 cos2 B + c2 – 2ac cos B b2 = a2 ( sin 2 B + cos2 B ) + c2 – 2ac cos B ( dimana sin 2 B + cos2 B = 1) b2 = a2 + c2 – 2ac cos B dari aturan cosinus di atas dapat di kembangkan menjadi Tips menggunakan aturan sinus dan aturan cosinus Banyak siswa yang kebingungan ketika berhadapan dengan soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus. Ada tips dari saya. Tips ini saya dapatkan berdasarkan pengalaman saya mengerjakan soal-soal tentang aturan sinus dan aturan cosinus. Tipsnya: waktu baca soal perhatikan berapa banyak sudut yang diketahui. 1. Jika ada dua sudut yang diketahui maka gunakan aturan sinus. 2. Jika hanya satu sudut yang diketahui kemudian lihat pertanyaannya: 2.1 Jika ditanya sudut maka gunakan aturan sinus. 2.2 Jika ditanya sisi maka gunakan aturan cosinus. 3. Jika tidak ada sudut yang diketahui maka gunakan aturan cosinus. Contoh 1: Pada segitiga ABC dengan sudut B = 105 derajat, sudut C = 45 derajat, dan panjang AB = 10V2. Tentukan panjang BC? Jawab: Banyak sudut yang diketahui ada 2 yaitu sudut B dan sudut C. Gunakan aturan sinus! BC : sin A = AB : sin C BC = (AB : sin C) x sin A BC = (10V2 : sin 45 derajat) x sin (180 – 105 – 45) derajat BC = (10V2 : 1/2 V2) x sin 30 derajat BC = (20) (1/2) BC = 10 contoh 2: Pada segitiga PQR diketahui panjang sisi RQ = 4, PQ = 8 dan besar sudut P = 30 derajat. Tentukan nilai sin R! Jawab: Banyak sudut yang diketahui ada 1 yaitu sudut P = 30 derajat. Karena diketahui hanya satu sudut maka lihat pertanyaannya.Yang dintanyakan adalah sin R (sudut R). Gunakan aturan sinus! sin R : PQ = sin P : RQ sin R = (sin P : RQ) x PQ sin R = (sin 30 derajat : 4) x 8 sin R = (1/2 : 4) x 8 sin R = 2 x 8 sin R = 16 Luas segitiga Luas segitiga ABC sama dbgan setengah perkalian dua sisi dengan sinus sudut apitnya. Bukti : Dalam segitiga siku-siku ABD, diperoleh sin A = t/c C t = c sin A ………………….i) luas segitiga ABC adalah : c a L ∆ ABC= 1/2 bt ……………………ii) Subtitusikan i) ke ii) diperoleh luas segitiga sebagai berikut : A B L ∆ ABC= 1/2 bc sin A b Dengan cara yang sama dibuktikan L ∆ ABC= 1/2 ac sin A L ∆ ABC= 1/2 ab sin A Bukti : Luas ∆ ABC dapat dinyatakan : L ∆ ABC = 1/2 bc sin A L ∆ ABC = 1/2 bc √(1-〖cos〗^(2 ) A) L ∆ ABC = 1/2 bc√((1-cos⁡〖A)(1+cos⁡〖A)〗 〗 ) L ∆ ABC = 1/2 bc√((1-a^(2+c^2- b^2 )/2bc)(1+(a^2+b^2-c^2)/2bc)) L ∆ ABC = 1/2 bc√(((2bc-(b^2 〖+c〗^2 〖-a〗^2 ))/2bc)((〖2bc+(b〗^2+c^2-a^2)/2bc)) L ∆ ABC = 1/2 bc√(((2bc-b^2 〖-c〗^2 〖+a〗^2)/2bc)((〖2bc+b〗^2+c^2-a^2)/2bc)) L ∆ ABC = 1/2 bc√((a^2-(b^2-2bc+c^(2))((b^2+2bc〖+c〗^2 ) 〖-a〗^2)))/((〖2bc)〗^2 )) L ∆ ABC = 1/2 bc/2bc √(a^2-(b^2-2bc+c^2 )((b^2++2bc+c^2)〖-a〗^2 )) L ∆ ABC = 1/4 √(〖(a〗^2-(〖b-c)〗^2 ((〖b+c)〗^2-a^2 ) L ∆ ABC = 1/4 √((a-(b-c) )(a+(b-c) )((b+c)-a)((b+c)+a)) L ∆ ABC = 1/4 √((a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)(b+c+a)) L ∆ ABC = 1/4 √((a+b+c-2b)(a+b+c-2c)(a+b+c-2a(a+b+c)) L ∆ ABC = 1/4 √((2s-2b)(2s-2c)(2s-2a)(2s) ) L ∆ ABC = 1/4 √(2(s-a)2(s-b)2(s-c)2(s)) L ∆ ABC = 1/4 √(16(s-a)(s-b)(s-c)(s)) L ∆ ABC = 1/4.4 √((s-a)(s-b)(s-c)(s)) L ∆ ABC = √((s-a)(s-b)(s-c)(s)) (terbukti) Koordinat kutub Pengertian Letak suatu titik pada bidang dapat ditulis dalam bentuk p( x, y), dimana x sebagai absis dan y sebagai ordinat, penulisan P(x,y) disebut koordinat kartesius. Koordinat kutub atau polar ditulis P( r, a)˚. Y P(x,y) y r P(r,a˚) a˚ o x X o koordinat kartecius titik p koordinat kutub titik p Hubungan Antara Koordinat Titik Kutub dan Koordinat Kartesius Koordinat kartesius P (x,y) Koordinat kutub P(x,y) X= r cos a˚ Y= r sin a˚ r= √(x^2+y^2 ) tan a˚ = y/x Contoh soal : Tentukan koordinat kutub dari titik C (-3√(2,) 3√2 Jawab: Misalkan koordinat kutub titik C (r, a˚) r2 = x2 + y2 tan a˚ = y/x = (3√2)/(-3√2) = -1 r = √(x^2+y^2 ) a˚ = 135˚ = √(〖(-3√2)〗^2+〖(3√2)〗^2 ) =√(18+18) = √36 = 6 Jadi, koordinat kutub titik C (-3√2,3√(2 )) adalh ( 6, 135˚) Tentukanlah koordinat kartesius titikB ( 10, 120˚) Jawab : Misalkan koordinat kartesius titik B (x,y). X= r cos a˚ = 10 cos 120˚ = 10 .(-cos 60˚) = 10. (-1/2) = -5 Y= r sin a˚ = 10 sin 120˚ = 10. (sin 60˚) = 10. 1/2 √3 = 5 √3 Jadi, koordinat kartesius titik B ( 10, 150˚) adalah ( -5, 5√3) Hubungan perbandingan trigonometri suatu sudut Y P(x,y) y a˚ o x Q X perhatikan segitiga POQ siku-siku di titik Q dan koordinat P (x,y), bila OP- r, OQ =y dan POQ= a˚. menurut teorema phytagoras, dari gambar di samping diperoleh rumus sebagai berikut. (x^2+y^2=r^2)/ ∶r^2 (x^2+y^2=r^2)/ ∶x^2 (x^2+y^2=r^2)/ ∶y^2 Dari koordinat kutub dan kartesius diperoleh sebagai berikut . Sin a˚ = y/r Cosec a ˚ = r/y Sin a ˚ ×cosec a˚= y/r×r/y=1 Cos a˚ = x/r tan a˚ = y/x Sec a ˚ = r/x cot a˚ = x/y Cos a sec a = x/r×r/x=1 tan a cot a = y/x×x/y=1 Dengan cara yang sama di dapat rumus sebagai berikut. Sin a ˚ ×cosec a˚=1 atau sin a = 1/(cosec a) Cos a sec a = 1 atau cos a= 1/sec⁡a tan a cot a = 1 atau tan a = 1/cot⁡a contoh soal buktikan bahwa sin A cos A ( tan A + cot A) = 1 jawab : penyelesaian ruas kiri . sin A cos A ( tan A + cot A ) = sin A cos A tan A + sin A cos A cot A = sin A cos A + sin A cos A = sin A sin A + cos A cos A = sin2 A + cos2 A = 1 Terbukti ruas kiri = ruas kanan Pengukuran sudut dengan satuan derajat dan radian B R A Pada gambar di atas , memperlihatkan lingkaran dengan jari-jari r dan berpusat pada titik O, titik A dan B pada lingkaran . panjang busur AB adalah r, sehingga OA=OB= busur AB = r maka diperoleh persamaan sebagai berikut. (panjang busur AB)/OA= r/r=1 dikatakan bah besar sudut AOB = 1 radian. Satu radian adalah besar sudut pusat suatu lingkaran yang menghadap busur yang panjangnya sama dengan panjang jari-jari lingkaran. Pada gambar di atas , panjang jari-jari lingkaran dan panjang AB adalah n satuan . dengan demikian, besar sudut AOB adalah 1 radian. 2π radian=360˚ 1 radian = (180˚)/π I radian = (360˚)/2π 1 radian = 57,296˚ Contoh soal : Nyatakan nilai berikut ini kedalam radian 45˚ 135˚ 330˚ Nyatakan nilai berikut ini ke derajat. 1/2 π radian 1 5/6 π radian 13/5 π radian Jawab : a. 45˚ = 45/180 π radian= 1/4 π 135˚ = 135/180 π radian=3/4 π 330˚ = / π radian=15/6 π A. 1/2 π radian= 1/2 × 180˚ = 90˚ b. 15/6 π radian= 11/6× 180˚ = 330˚ c. 13/5 π radian= 8/5× 180˚ = 288˚ Tentukan perbandingan trigonometri dari segitiga ABC berikut ini: C 20 A B 16 Jawab : BC2 = AC2 + AB2 AC2 = BC2- AB2 = 202 – 162 = 400 – 256 AC2 = 144 AC = 12 Sin α = 16/20= 4/5 4) cot α = 12/16= 3/4 Cos α = 12/20= 3/5 5) sec α = 20/12= 5/3 Tan α = 16/12= 4/3 6) cosec α = 20/16= 5/4 .Segiempat ABCD siku-siku di A dan C, ABC = α, CBD = β. Jika AD = p, maka BC = … Penyelesaian : Sin α = AD/BD ⟹ BD = AD/sin⁡α = p/sin⁡α Cos β = BC/BD ⟹ BC = BD. Cos β = p/sinα . cos β = p. cosβ/cos⁡α 5. (〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan⁡30^° . tan⁡60^° ) = … Penyelesaian : 〖sin〗^2 α+ 〖cos〗^2 α=1 sin⁡45^°= cos⁡45^(° );tan⁡60^° 〖=tan⁡〖(90〗〗^°- 〖30〗^°)=cot〖 30〗^° (〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan⁡30^° . tan⁡60^° ) = (〖sin〗^2 〖45〗^° 〖sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖45〗^° 〖cos〗^2 〖60〗^°)/(tan⁡30^° . cot⁡30^° ) = (〖sin〗^2 〖45〗^° 〖 (sin〗^2 〖60〗^°+ 〖cos〗^2 〖60〗^°))/(sin⁡30^°/cos⁡30^° . cos⁡30^°/sin⁡30^° ) = (〖Sin〗^2 45.1)/1 = (1/2 √2 )2 = 1/2 6. jika α = 60˚, tentukan nilai dari operasi berikut: a) 3 sinα cosα c) 2 cos3 α 5 cos α b) 2 – 4 sin2 α d) 5 sin α – 3 sin2 α 3 sinα cosα = 3 sin 60˚ . cos 60˚ = 3. 1/2 √3.1/2 = 3/4 √3 2 – 4 sin2 α =2 – 4 sin2 60˚ = 2 – 4 (1/2 √3)2 = 2 – 4 . 1/4. 3 = 2 – 3 = -1 2 cos3 α 5 cos α = 2 cos3 60˚ . 5 cos 60˚ = 2(1/2)3 . 5. 1/2 = 2 (1/8) . 5/2 = 5/8 5 sin α – 3 sin2 α = 5 sin 60˚ - 3 sin2 60˚ = 5 1/2 √3- (1/2 √3)2 = 5/2 √3- 3 .1/4 .3= 5/2 √3- 9/4 memecahkan ketimpangan trigonometri selama 2 sin x cos x - sin x + 2 cos x -1 <0 dan -180 <= x <= 180 jawab; Pertama, kita akan pd oleh 2cos x 1 dan istilah 3: 2 cos x (sin x + 1) - (sin x + 1) <0 Kami akan pd dengan (sin x + 1): (Sin x + 1) * (2cos x - 1) <0 Sebuah produk adalah faktor-faktor negatif jika memiliki tanda-tanda yang berlawanan. Kita akan membahas 2 kasus: 1) sin x + 1 <0 dan 2cos x - 1> 0 sin x <-1 Ini tidak mungkin karena nilai fungsi sinus tidak bisa lebih kecil dari -1. 2cos x - 1> 0 2cos x> 1 cos x> 1 / 2 x> pi / 3 atau x> 2pi / 3 Kita akan membahas kasus 2: 2) sin x + 1> 0 <=> sin x> -1 => x> pi Hal ini tidak mungkin karena x adalah dalam rentang [0.180] dan tidak dapat lebih besar dari 180. dan 2cos x - 1 <0 => x x = 3Pi / 2; cos x = 1 / 2 -> x = Pi / 3 dan x = 4Pi / 3 c. Mengatur Tabel Sign: Variasi dari u dan v dalam periode 2pi x | 0 Pi / 3 Pi 3Pi / 2 4Pi / 3 2pi u | + + + 0 + + v | + 0 - - - 0 + F | Tidak ada ya ya ya Tidak Tanda dari F adalah tanda dari produk u * v Himpunan solusi ketidaksamaan adalah interval (Pi / 3, 4Pi / 3) Catatan 1: Untuk memecahkan ketimpangan trigonometri, mengubahnya menjadi sebuah produk dari ketidaksetaraan trigonometri dasar. Kemudian, mendirikan Tabel Masuk yang menunjukkan semua set solusi dari ketidaksetaraan dasar. Himpunan solusi gabungan dapat dengan mudah dilihat sebagai tanda produk Catatan 2. Jangan mencoba untuk membahas tanda-tanda dari 2 Binomial karena akan menyebabkan kebingungan dan kesalahan. Uji kompetensi: Himpunan penyelesaian dari 6 cos x – 6 akar 3 sin x = 6 untuk - 360 < x < 360 ( Kurang dari sama dengan ) A. ( 120 , 240 , 360 ) B. ( 135 , 120 , 360 ) C. ( 135 , 270 , 360 ) D. (- 120, 240 , 360 ) E. (-240 , 120 , 360 ) . Pada segitiga ABC diketahui sudut C = 30 derajat dan sin A . cos B = ¾ , nilai tan A / tan B = … A. 3 B. 2 C. 0 D. -2 E. -3 Cos 150˚ + sin 45˚ + 1/2 cot (-330˚) = … 1/2 √3 d. -1/2 √2 -1/2 √3 e. √2 1/2 √2 Jika cos β = - 1/2 √3 dan sudut β terletak pada kuadran II, maka tan β = … √3 d. - 1/3 √3 1/9 √3 e. -√3 1/2 Diketahui : sin α = a, α sudut tuimpul maka tan α =… (-a)/√(a^2-1) d. (-a)/〖1-a〗^2 a/√(1-a^2 ) e. (-a)/√(1-a^2 ) (-a)/√(1+a^2 ) Jika tan(2x + 10˚) = cot ( 3x - 15˚), maka nilai x yang memenuhi diantaranya adalah… 13˚ d. 25˚ 19˚ e. 26˚ 21˚ Jika p-q = cos A dan √2pq = sin A, maka p2 + q2 = … 0 d. 1/4 1 e. -1 1/2

modul TRIGONOMETRI Oleh : Muhlisah (1101250 Dosen pengampu : Seri Ningsih, M. pd INSTITUD AGAMA ISLAM NEGERI(IAIN) ANTASARI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS TARBIYAH BANJARMASIN 2011/2012 KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum wr.wb Puji syukur Alhamdulillah penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT,dzat maha kuasa atas segala sesuatu. Hanya karena rahmat, taufik dan hidayah-Nya penulis dapat menyelesaikan penyusunan Modul “ TRIGONOMETRI” . shalawat dan salam penulis haturkan ke pangkuan Rasulullah Muhammad SAW yang telah meletakkan kerangka peradapan “khoiro ummah” serta menerangi perjalanan hanif manusia. Modul ini dirancang untuk memenuhi tugas terstruktur dari dosen penulis “ Seri Ningsih, M.pd. dimana di dalam modul ini penulis cantumkan materi-materi tentang trigonometri dan contoh-contoh sebagai acuan untuk menyelesaikan soal-soal yang telah penulis sediakan. Modul ini terselesaikan meruppakan hasil kerja sama penulis dengan berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung. Oleh karena itu penulis ucapkan terima kasih kepada: 1. Ibu Seri Ningsih, M.pd sebagai dosen trigonometri yang telah membimbing penulis menyelesaikan modul ini. 2. orang tua penulis yang telah memberikan doa dan restu untuk keberhasilan anak beliau. 3. mahasiswa-mahasiswi yang pernah ikut mata kuliah trigonometri bersama penulis adalah pihak yang tidak bias terlupakan. 4. pihak lain yang penulis tidak sebutkan yang mungkin penulis tidak mengetahui telah mendorong kami untuk menyelesaukan modul ini. Akhir kata, dengan segala kerendahan hati penulis menyadari akan keterbatasan dan kelemahan penulis. Kritik dan saran yang membangun sangat penulis harapkan demi kesempunaan modul selanjutnya. Banjarmasin, 27 Nov 2011 penulis Daftar isi halaman judul 1 kata pengantar 2 daftar isi 3 trigonometri 4 BAB I FUNGSI TRIGONOMETRI 7 BAB 2 IDENTITAS TRIGONOMETRI 35 BAB 3 TEOREMA DE'MOIVRE………………………………………………………….46 BAB 4 PERSAMAAN TRIGONOMETRI…………………………………………………63 BAB 5 PERTIDAKSAMAANTRIGONOMETRI…………………………………………82 BAB 6 FUNGSI SIKLOMETRI……………………………………………………………84 BAB 7 APLIKASI TRIGONOMETRI ………………………………………………………………………………….88 kunci jawaban………………………………………………………………………………………………………………………………….91 DAFTAR PUSTAKA 118 TRIGONOMETRI Trigonometri .Dahulu disebut ilmu ukur segitiga atau ilmu ukur sudut atau goniometri. Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yang terdiri dari dua kata:”trigonon “berarti segitiga dan “metron”berarti ukuran. Menurut asalnya trigonometri cabang dari ilmu yang mencoba menyelidiki gerak benda-benda angkasa seperti matahari, bulan, dan bintang-bintang dan menghitung/memperkirakan posisinya. Dalam usaha menggunakan trigonometri sebagai dasar penyelidikan dan penghitungan dikenal dua tokoh astronomi bangsa Yunani bernama Hipparchus dari Nicaca (abad ke -2 SM) dan Claudius Ptolemy (abad ke -2 SM ). Pada perkembangannya selama hamper 2..000 tahun trigonometri banyak digunakan dalam bidang-bidang astronomi, navigasi, dan penyelidikan-penyelidikan lainnya. Pada saat ini trigonometri bukan hanya studi tentang dan sudut-sudut tetapi juga merupakan cabang dari matematika modern yang membahas tentang sirkulasi dan fingsinya. Seorang ahli astronomi bernama Hipparchus yang berasal dari Nicocea Yunani yang hidup pada tahun 160-120 SM, dipandang sebagai peletak dasar lahirnya ilmu trigonoimetri. Hipporchus merupakan orang yang pertama yang menyusun trigonometri secara sistematik meskipun perkataan trigonometri itu sendiri belum ada pertama itu.ia mulai mencoba menyelidiki dan membuktikan dalil dan rumus-rumus yang diperoleh dari orang Mesir kemudian mengembangkannya.pekerjaan itu oleh Claudius Ptolemy ( 2 abad SM),juga seorang astronomi bangsa yunani. Selepas kejatuhan iskandariah,sains yunani hanya digunakan di selatan itali dan byzantine.kemudian sains yunani dihidupkan kembali dan dikembangkan oleh orang islam.pada abad ke 9 dan ke 11 M ketika Eropa masih dalam zaman kegelapan dan kebudayaan Islam mencapai puncak kejayaannya.kajian trigonometri dilakukan secara serius oleh orang-orang islam pada abad 12 dan 13. Trigonometri orang islam semula menyandarkan pada apa yang telah dikaji oleh Claudius Ptolemy. Namun akhirnya, matematikawan islam bernama Muhammad bin Jabir al-Harani al-Batani (244-317 H/ 858-929 M) berkebangsaan Irak mulai mengembangkan trigonometri. Al-Battanilah orang pertama memasukkan sinius (jaib) dan cosines dalam matematika. Dia sinuds dan cosinus sebagai pengganti atas hypotenuse yang banyak digunakan oleh orang Yunani. Lalu ia menyempurnakan dengan bayangan semu (cotangent) dan bayangan inti atau shadows (tangent) atas inspirasi almawazi. Misalkan ada garis lurus (= jari-jari) yang berputar berlawanan arah jarum jam. Sebuah garis dilukiskan dari ujung jari-jari di depan sudut yang yang besarnya sejauh perputarannya. Garis tersebut oleh Claudius Ptomely disebut sebagai “setengah perents”. Panjang garis setengah perentas memiliki keterkaitan yang erat dengan besar sudut putarnya. PP Setengah parentas dalam behasa Arab dikenal dengan jiba dan orang Eropa keliru melapalkan menjadi jaib. Ahli matematika Eropa sudah terbiasa dengan kata jaib yang artinya”bukaan sejenis pakaian pada paras leher dan dada”.ileh karena sudah terbiasa dengan kata itu , ketika orang Eropa menerjemahkan dalam bahasa latin mereka memilih kata sinus yang berarti dada atau lipat. Al-Battani yang nama lengkapnya Mohammad ibn Jabir ibn Sinan Abu Abdullah al-Battani adalah seorang astronomi dan matematikawanIsalam yang lahir di Battan, Mesopotamia pada tahun 850 M dan meninggal di damsyik 929 M. karya-karya al-Battani yaitu De Scienta (Sains) dan De numeris stellarum et motibus (nomor bintang-bintang yang diperagakan). Al-Battani yang oleh orang latin dipanggil sebagai Albateganius melengkapi fungsi-fungsi trigonometri dengan fungi umbra dan umbra versa (atau cotangent dan tangent sekarang ini). Al-battani bukan saja mampu menyusun tabel sinus , cosinus, tangent dan cotangen dari 0˚ sampai 90˚ dengan ketepatan yang baik, juga memperkenalkan operasi-operasi aljabar pada identitas trigonometri. Al-Battani yang juga mendapat gelar sebagai”ptomely Baghdad” mampu menyusun hgubungan antara ketinggian (altitude) matahari, tinggi menara L dan bayangan x dengan formula sebagai berikut: X Seorang matematikawan dari jerman Heidelberg Bartholomaus Piticus (1561-1613) merupakan penulis buku pertama yang menggunakan istilah trigonometri (1595). Mulai saat itu istilah trigonometrri dipergunakan orang sampai sekarang ini.

motto

jadilah seperti akar ,walaupun ia tidak terlihat orang tetapi ia selalu menyerap air dan unsur lain dari tanah untuk kelangsungan hidup tumbuhan